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摘 要 介绍了非线性电路完备状态方程式的几个相关定义,并对方程式的存在条件进行了讨论,最后介绍了方程式的两种编写方法。
【关键词】非线性电路 完备状态方程式 标准树 混合矩阵
近20年以来,非线性电路的研究与发展取得了长足的进步。其中以蔡绍棠(Leon O. Chua),桑德伯格(Sandberg),威尔森(Willson)为代表的一批科学家,在这一领域做出了大量开创性的工作并取得了一系列宝贵的成果。80年代以后,非线性电路中混沌现象的发现进一步拓展了该研究领域。然而,由于非线性电路具有稳态不唯一、自激振荡、跳跃现象等特点,使得该领域的理论至今未臻完善,因此,在今后相当长的一段时间内仍将具有广阔的发展前景。
在对线性电路进行时域分析时,广泛采用的方法是先建立电路的状态方程式,然后求解该方程组的数值解。同样的,在对非线性电路进行分析时,也要建立相应的状态方程式,但是由于电路的非线性所带来的复杂性,非线性电路的状态方程相比于线性电路的状态方程将会具有更多的约束条件。本文在已有研究的基础上,首先介绍了非线性电路完备状态方程式的相关定义,然后针对其存在的条件进行了讨论。最后,根据电网络相关理论,综述了完备状态方程式的两种编写方法。
1 完备状态方程的相关定义
图1是一个由非线性元件R、L、C及时变电源us(t)、is(t)组成的网络。其中,有m个流控电感和n个压控电容,它们的元件特性表达式分别为 ()、 ()。
现将网络中的所有电感和电容作为外接元件,则图1表示一个(m+n)端口的非线性电阻网络。
所谓完备状态方程式是指在任何时间域内及空间Rn均存在而且有解的状态方程式。为了进一步讨论完备状态方程式的存在条件以及编写方法。首先,列出几个相关定义:
1.1 完备电路
在一个(m+n)端口的非线性电阻网络中(如图1所示),电阻的伏安特性为连续单增函数,当其中的电源置零后,在该(m+n)端口网络中,所有流控电阻均为树支,所有压控电阻均为连支,同时该端口电路内部不存在任何既含一个电阻树支,又含一个电阻连支的基本回路,称这个(m+n)端口电路为完备电路。
当(m+n)端口电阻网络为完备电路时,根据基尔霍夫定律,它的端口特性可用如下方程组表达:
(1)
式中, 为电感端口的参数矩阵,为电容端口的参数矩阵。
当状态变量和为已知时,可解出和的值,即该(m+n)端口电路有唯一解。
1.2 标准树
在一个由电阻、电感和电容支路构成的网络图中,包含全部电压源,不含电流源且含尽量多的树支电容和尽量少的树支电感的一棵树称为标准树。
2 完备状态方程的存在条件
2.1 必要条件
将元件特性表达式对时间进行求导并写成矩阵形式可得电感、电容元件上的特性方程
(2)
式中,为电感上的电压列向量; 为电容上的电流列向量; 为m阶对称矩阵(当电感间不存在互感时),称为增量电感矩阵;为n阶对称矩阵,称为增量电容矩阵。
因为电感端口和电容端口上的电压与电流方程可表达为:
(3)
(4)
代入式(2)后整理可得:
(5)
式中的负号表明端口上的电压、电流方向是非关联参考方向。
由该方程式可得完备方程式存在的必要条件:
(1)构成电路的非线性元件特性必须是连续可微的函数,即、存在;
(2)电路的非线性变换存在,也即矩阵 、必须为非奇异矩阵。
2.1 充分条件
完备状态方程式要求在任何时间 和 空间内存在而且有解,这就给电路的元件约束和拓扑约束提出了一系列如下要求:
①元件连续单调可微而且导数处处非零;
②电感磁控或流控,电容荷控或压控;
③所有非线性变换存在;
④存在一棵标准树。
3 完备状态方程的编写
3.1 系统法
(1)选择一棵标准树
在选择标准树的过程中,除了要满足标准树定义的几点外,还应注意一下几个方面:
1)尽量以流控电阻为树支,而尽量不选压控电阻为树支;
2)在遇到必须在压控电阻和电感之间选一时,应选压控电阻为树支;
3)应尽量避免:①在同一回路中既有树支电阻又有连支电阻;②纯电容回路; ③纯电感割集。
(2)合理安排电压、电流向量顺序
设支路排列顺序以先连支后树支,元件次序依次为电容、电阻、电感。
(3)根据基尔霍夫定律,对电路列KLC方程和KVL方程
(6)
式中,当取定标准树后,根据支路的排列顺序,B、Q的形式为:
(7)
其中,I为单位矩阵,F为基本子阵。
4)选择树支电容和连支电感的控制变量为状态变量
根据(7)、(8)两式以及所选择的状态变量,可得下列两式:
式中,下表小写字母t、l分别代表树支和连支。
5)将R、L、C上的元件特性方程代入上述两式,并选择控制变量作为状态变量,整理后即可得到完备状态方程式:
3.2 多端口法
设电路依然满足完备状态方程式存在的几个条件,为方便讨论,此时,重新定义图1中各个元件数。令网络含有u个电感,(q-u)个独立电流源, w个独立电压源,(m-q-w)个电容。现将电容、电感以及独立电源均抽出,则我们将得到一个多端口非线性电阻网络,如图2所示。
若将前q个端口和后(m-q)个端口的电压、电流,分别用向量 u1、i1、u2 、i2 表示,根据电网络理论的相关知识,我们可以得到如下表达式:
(8)
式中, 为多端口网络的混合矩阵,H中的各个分块矩阵可用直观法计算或者通过关联矩阵和支路导纳矩阵计算。
为使与抽出的元件对应,上述 矩阵里的分块可以进一步进行拆分,从而可得:
(9)
对照图2,同样可将u1、i1、u2 、i2进行拆分,可得:
(10)
(11)
式中,us为独立电压源向量,is为独立电流源向量;uis为电流源端电压向量,ius为电压源端电流向量;uL为电感的电压向量,iL为电感的电流向量; uC为电容的电压向量,iC为电容的电流向量。其中,iL、iC和端口电流方向一致,即电感和电容上的电压和电流为非关联参考方向。
现将式(9)~式(11)代入式(8)中,可得:
(12)
取上式的第一、四行等式并用式(2)代入得:
此处的负号表示电流与电压为非关联参考方向。
将上述所得两式合并,
且令 ,则有:
再将电感、电容的元件特性方程代入上式,选择控制变量作为状态变量,即可得到完备状态方程式。
4 结束语
完备状态方程式是我们分析非线性电路动态特性的关键步骤。本文在已有研究的基础上,首先对完备状态方程式的存在条件进行了分析,总结出了几个要点。同时,根据线性电路状态方程的编写思路,结合非线性元件的元件特性,概述了两种得到方程式的途径,极大的丰富了完备状态方程式的编写方法。
参考文献
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作者单位
南京理工大学自动化学院 江苏省南京市 210000