摘要 本文介绍了一种(数学分析中)不是很常见的函数——Dirichlet 函数,该函数可以作为学习数学分析中其它有关知识点的辅助工具。
关键词 Dirichlet;Riemann可积;存在原函数
中图分类号O13文献标识码A文章编号 1674-6708(2011)35-0088-03
Dirichlet函数虽不复杂,但不能用解析式表示。这一思想的提出,正是数学由过去的研究“算”到以后研究“概念、性质、结构” 的转变的开端,所以意义重大。1837年Dirichlet给出函数的定义:如果对于给定区间上的每一个x的值,有唯一的一个y值与它对应,那么y是x的一个函数。他接着说,至于整个区间上的y是否按照一种或多种规律依赖于x,或者y依赖于x是否可用数学运算来表示,无关紧要。Dirichlet的函数定义成了我们现在仍沿用的传统定义。在数学中还有许多概念和原理都与Dirichlet的名字联系在一起,如Dirichlet级数,Dirichlet原理(即抽屉原理),Dirichlet问题,Dirichlet条件,Dirichlet判别法等。
定义函数为Dirichlet函数。这是一个具有奇特现象的特殊函数,下面就的简单性质做一简要探讨。
1)有界性: 的值域为{0,1}有界,且.
2)周期性:
命题1.
证明: (1)充分性:设,
当时,.
当时,.
综上,当时恒有为的一个周期,根据有理数集的稠密性可知,不存在最小的正有理数,因此不存在最小正周期。
(2)必要性:,取x=0得,由定义知,即的任一周期必为有理数。
3)奇偶性:(1)当时,;
(2)当时,;
综上,有,即为偶函数。
4)连续性:
命题2 任意一个实数x0都是的第二类间断点。
证明:,假设在点x0处极限存在且。
(1)当时,,,,使得,此时有 ;
(2)当时,,,,使得,此时有。
综上,都不能作为在x0处的极限,因此在任意一点x0都不存在极限,进而在R上不连续、不可导。
事实上,对,由定义,当时, ,
当时,。
由此可知不存在,同理也不存在。因此x0为 的第二类间断点,按间断点的种类分应为振荡间断点。
提问:(1)试找出一个定义域为的函数f(x),使得f(x)只在一个点处连续。
解:考虑,易知f1(x)只在x=0处连续。
同理,考虑.
考虑,易知f2(x)、f3(x)均满足条件。
一般地,考虑,如果满足只在x=0处取得且连续,则f(x)就满足条件(1)。
(2)试找出一个定义域为的函数g(x),使得g(x)只在一个点处可导。
解:考虑,等等。
一般地,考虑,如果满足只在x=0处取得且,则f(x)就满足条件(2)。
很显然,满足题设条件(1)、(2)的函数有无穷多个,此处借助了在其定义域内处处不连续的性质。
下面将给出的两个最为经典的性质供参考。
5)可积性:
命题3在任何闭区间上非Riemann可积 。
下面给出Riemann积分的两种定义和Riemann可积的三个常用的充要条件,并给出非Riemann可积相应的证明方法。
Riemann积分定义之一
设一元函数f(x)在[a,b]上有定义,[a,b]内存在n+1个点,依次为,这n+1个分点将[a,b]划分成n个子区间(下同),做成一种分法Δ,子区间的长度,我们称为分法Δ的模。对于[a,b]的上述分法Δ,任取点列,称为 f(x)在[a,b]上的一个Riemann和。如果存在并且与分法Δ和点列的选取均无关,则称f(x)在[a,b]上是Riemann可积的,记为 f(x)在[a,b]上的定积分。
由的周期性可知,当我们讨论在任意闭区间[a,b]上的可积性时,只需讨论在[0,1]上的可积性即可。
证法1:对定义在[0,1]上的,我们在[0,1]上做出一种指定的分法之后,只需在区间上选取两组不同的点列与,然后证明与不相等即可。
具体做法为:取 .由定义,且,显然。
Riemann积分定义之二(用语言表述)
设一元函数 f(x)在[a,b]上有定义,,若对, ,对一切分法Δ和一切点列,只要满足,恒有,则称f(x)在[a,b]上Riemann可积,I为f(x)在[a,b]上的定积分,记作。
证法2:假设在[0,1]上Riemann可积,则,对,,对任意分法Δ和任意点列,只要,恒有.
特别地,取点列,,显然,.
而另一方面
. 矛盾!
Riemann可积的充要条件之一
在“定义之一”中,令,,记,,分别称之为Darboux上和与Darboux下和 。定义为Darboux上积分,为Darboux下积分,分别记作与,如果,则称f(x)在[a,b]上Riemann可积。记其公共值为且称它为f(x)在[a,b]上的定积分。
证法3:由上述充要条件可知:。
。
所以,从而在[0,1]上非Riemann可积。
Riemann可积的充要条件之二
记为f(x)在上的振幅,对,如果存在[a,b]的某种分法Δ,使得,则f(x)在[a,b]上Riemann可积。
证法4:对来说,在上
所以
Riemann可积的充要条件之三
如果,则f(x)在[a,b]上Riemann可积。
利用“充要条件之三”来证明在[0,1]上非Riemann可积的思想方法与利用“充要条件之二”的思想类似,此处略去不写。
6) 不存在原函数
命题4. 不存在原函数。
引理(Darboux中值定理,亦称导函数介值定理)
设f(x)在[a,b]内可导,则对于与之间的一切值 k, ,使得。
证明:因和的大小关系尚未给定,不妨令.
令,
则,
。
由极限的局部保号性可知使得,
同理使得。
则g(x)在(a,b)内取得最小值,即使得即。
对命题4的证明:假设F(x)为D(x)的一个原函数,则F"(x)=D(x),
取,则。
取,则。
不妨令,由Darboux中值定理,对,,使得或1。矛盾!
7) 结论
Dirichlet函数具有的奇特现象,使它(或与其性质类似的函数)成为了学习数学分析的过程中举反例的有力武器,掌握它最基本的性质对这门课程的初步学习大有裨益。本文贯穿了一元函数微积分各个章节的知识点,系统总结了Dirichlet函数的若干基本性质,供同学们学习参考。但由于作者水平有限,加上编写时间仓促,疏忽和误解之处一定还有不少,请大家谅解,欢迎广大读者批评指正,提出宝贵意见。
注释:
①狄利克雷Dirichlet,Peter Gustav Lejeune(1805~1859),德国数学家,是高斯的学生。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献,是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦,1859年5月5日卒于格丁根。在分析学方面,他是最早倡导严格化方法的数学家之一。
②根据Lebesgue积分理论, 在[0,1]上Lebesgue可积,且.本文所讨论的积分都属于Riemann积分的范畴。
③在这种定义中,极限过程是用来描述的.因既不是数列,也不是分法Δ的函数,它与数列极限,函数极限均有所不同,这类新的极限叫做Moore-Smith极限,Moore-Smith理论将极限概念推广到了最一般的境地,有关它的最一般理论,在点集拓扑学中有较详尽的讨论。
④显然Darboux上和与Darboux下和只与分法Δ有关,一种分法Δ唯一确定了一个Darboux上和与Darboux下和。
⑤也通常简记为,表示把Darboux上和对所有的分法Δ取下确界,也类似。
注:
⑥一般说来,函数f(x)在[a,b]上可积与函数f(x)在[a,b]上存在原函数是两个截然不同的概念,它们之间没有必然的联系。
1)在[a,b]上可积的函数f(x)未必存在原函数.例如Kronecker函数(亦称符号函数)在上明显可积,因为它只有一个第一类间断点,然而由导数的性质可知,此函数在上不存在原函数。
事实上,在闭区间上具有至多可数个间断点的有界函数都是可积的,但因其间断点的存在而不存在原函数。
2)在[a,b]上具有原函数的函数f(x)未必是可积的.例如 在上可导(证明从略),其导函数为.
因此,f(x)在上存在原函数f(x),但f(x)在上无界,故f(x)在上必定不可积。
参考文献
[1]张筑生.数学分析新讲(第一册)[M].北京:北京大学出版社,1990.
[2]徐森林,薛春华.数学分析(第一册)[M].北京:清华大学出版社,2005.
[3]裘兆太,王承国,章仰文.数学分析学习指导[M].北京:科学出版社,2004.
[4]胡适耕 张显文.数学分析原理与方法[M].北京:科学出版社,2008.
[5]周民强.实变函数论[M].北京:北京大学出版社,2001.
[6]http://zhidao.baidu.com/question/142444881.html.[J/ OL].