一、 引言
混沌(Chaos)科学是20世纪人类三大科学成就之一。混沌一词是1975年作为数学名词首次在科学文献上出现的,它是确定性系统变化极端复杂和行为不可预测的同义语。20多年来,它以科学史上空前的速度发展成为具有丰富的非线性物理背景和深刻数学内涵的现代学科。作为两栖于物质科学与数学科学的边缘学科,混沌理论的影响早已超出数理学科,旁及到化学、生物及社会科学并进入金融领域。混沌运动只发生在非线性系统中。金融市场的行为是不完全随机性的,市场内各部分之间并不是相互独立的,也不是具有可叠加性的线性系统,价格的变化并非是不相关的,所以线性的交易系统无法描述自然界中的市场,投资者不能将过去的信息用线性的模式套用为现在的行动,而非线性的模式恰好提供了各部分之间的相互作用,表示多种因素之间会发生耦合及相互影响,并具有复杂性及多样化的特征,它还提供了丰富的可能性及假设,所以很接近于现实的市场中生产者及消费者的行为。因此,混沌理论让我们用新的角度观察市场,使我们进一步看清市场行为的基本框架及实质,深入广泛地研究自然现象及金融市场更为广大的未知领域。
二、 混沌理论——一种新的思维
非线性系统虽然和线性系统一样是确定性的,但是后者具有解析解,而非线性系统的运动不可能用解析的方法求解。目前只能在给定参量和初值后,依照一定的确定性关系用计算机按迭代法对其演变进行数值计算。混沌理论绝不仅仅代表新的交易技术,它是一种崭新的世界观。事实上,在20世纪70年代中期以前,我们缺乏大型电脑与其他相关设备,所以无法在数学与函数的基础上来处理这种世界观,混沌理论是第一个以严谨的数学方法,处理复杂形式(生命与非生命的形式)与混乱流动的模型。虽然非线性技术应用于市场分析,对数学能力有一定的要求,但很有前景。在金融市场中,政府的一项意外声明、气候的突然变化、作物报告的公布、某主要国家的一项政治或经济行动,都可能强化或减弱市场中的既有趋势。市场对于外来冲击的回应显然是一种混沌的现象,趋势的新方向并不是牛顿理论中的线性工具可有效预测的。这种现象似乎创造一个全然混沌的世界。然而,实际的结果完全不是设想的那样悲观景象,众人担忧的无秩序并未出现。最初呈现疯狂波动的市场的价格走势,最终仍将回复至某种形式——这是所谓的“奇异吸引因子”。
混沌运动的一个普遍的重要特征是对初值极端敏感性,对两次只是初值略微不同的混沌运动,它们的差异随时间增加变得越来越大。当初值有微小差异,则其后各时刻两运动的差异将随时间按指数规律增大,这是一种爆炸式的扩张,初差之丝毫而后偏差万里。在混沌运动中,可用Lyapunov exponent来判断混沌的出现,不同初值的混沌运动之间的差异的迅速扩大给混沌运动带来严重的后果。由于从原则上讲,初值不可能完全准确地给定,因而在任何实际给定的初值条件下,我们对混沌运动的演变的预测可能性就将按指数规律减小到零。这就是说,我们对稍长时间之后的混沌运动不可能作出预测!确定性和可预测性之间的联系被切断了,混沌运动虽然仍是确定性的,但它同时又是不可预测的。混沌就是确定性的混乱!
对于传统着重处理的有解析解的线性系统,不同初值的诸运动之间的差异只是随时间线性地扩大。这种较慢的离异使得实际上运动对初值不再特别敏感;因而实际上可以预测,但是即使这样,如果要预测非常远的将来的运动状态,那也是不可能的!对决定性系统的这种认识是对传统习惯的一次巨大冲击,它表明在自然界中确定和混乱(或随机)并存而且紧密联系。牛顿力学长期以来只是对理想世界作了理想的描述,向人们灌输了确定性的可预测性是普遍规律的思想。混沌现象的发现和研究,使人们认识到这样的“理想世界”只对应于自然界中实际的线性系统的很小一部分,即那些“典型的”例子。对整个自然界来说,它并不具有典型性,线性的金融市场只是非线性市场的一种特例。由线性理论得出的结论并不适用于更大范围的非线性系统。对这更大范围的非线性系统,必须用新的思想加以重新认识和研究。确定性的不可预测性这种思想早在19世纪末就由法国的伟大数学家庞加莱在研究三体问题时提出来了。对于三个星体在相互引力作用下的运动,他列了一组非线性常微分方程,他的研究结果是:三体问题是不可积的,这组方程没有解析解。此系统的轨道非常杂乱,以至于他“甚至连想也不想要把它们画出来”。于是他设计了一些新的几何方法来说明这种复杂的运动。但他的这种思想中的某些部分由于其数学上的奇特和艰难,长期以来,未引起人们足够的关注。
混沌概念的复苏和兴旺是在美国气象学家洛伦兹1961年发现了气候演变的混沌现象之后。为了研究大气对流对天气的影响,洛伦兹对实际情况进行简化,抛掉许多次要因素,建立了一组(3个)非线性方程。解他的方程只能用数值解法——给定初值,然后一次一次地迭代。他当时只有一台真空管计算机,速度大约是每秒一次迭代。1961年冬的一天,他在某一初值的设定下已算出一系列气候演变的数据。当他再次开机想考察这一系列的更长期演变时,为了省事,不再从头算起,他把该系列中的一个中间数据当作初值输人,然后按同样程序进行计算。他本希望得到和上次已得系列的后半段相同的结果,但是出乎意料,经过短时间的重复后,新的计算很快就偏离了原来的系列。他很快意识到这并非计算机出了故障,问题出在他这次输入的初值数据上。计算机储存的是6位小数0.506 127,但他打印出的只3位小数0.506,他这次输入的就是这几位数字。原本以为这千分之几的差异无关紧要,但是就是这初值的微小差异导致了结果序列的逐渐分离。凭数学的直观,他感到这里出现了违背经典概念的新现象,其实际的重要性可能是惊人的。他得出的结论是:长期的天气预报是不可能的。他把这种天气对于初值的极端敏感反应用一个很风趣的词“蝴蝶效应”来表述。引用畅销名著《混沌——开创一门新科学》的作者格莱克的说法,蝴蝶效应是指“今天在北京一只蝴蝶扇动一下翅膀,可能下月在纽约引起一场暴风雨。”可见非线性科学给我们带来新的思维方式,它对自然科学及社会科学及至金融领域都 会产生深远的影响。
对判断金融市场一个时间序列是混沌的还是随机的,同样可以通过计算该序列的最大Lyapunov- exponent,如果Lyapunov exponent是正值,则可判定时间序列是混沌的,反之则是随机的。例如:对于股票价格它是时间的函数,实际上我们能观察到的是一个可用x(t)表示的时间序列,对于给定时间间隔,在某段时间内,可得到一有限数量的数据集合,选择一合理嵌入维数m,就可构造一个以该数据集合中数据为分量的m维空间。其中的点可用另一序列表示,假设数据从t0开始,可得到起始点P0,然后在欧氏距离意义下找出空间中与起始点最近的点P0′,两点的距离为L(t0)。再稍后的时刻t1,此时P0演变为P1,P0′演变为P0″,计算出P1与新点的距离,记为L‘(t1),接着寻找一替换点P1′,使其满足P1P0″与夹角P1P1′及 距离都充分小。如果空间中存在满足以上条件的替换点,计算出P1与该替换点的距离,往后重复以上演变过程,直至走完轨迹的所有点集,到达最后一个时间点。我们用下式可计算出Lyapunov exponent (计算机叠代) :
l1即为最大 Lyapunov exponent,M为总的替换次数。
该算法有一个不足之处,根据这个算法,时间序列应该是一个无穷序列,而在实际应用中所遇到的股票价格数据一般都是有限的,这样如果中间某步寻找替换点的时候,达到了最后的点,则演化就无法进行下去,因此需对原方法进行改进,如果出现这种情况则重新寻找替换点。此时放宽对角度的限制,寻找一个次优的替换点,这样一直可以继续到最后。在n趋于无穷的时,计算的结果与前面所讲述的结果是一致的。当我们把股票价格作为研究对象时,运用以上的算法对一个时间序列进行计算,可得到不同的嵌入维度m所算得的Lyapunov exponent,我们根据相应的计算方法,可得出相应的嵌入维度图同嵌入维度之间的关系,并可以分析出,股票价格的时间序列存在着混沌吸引因子,随着m的增加,Lyapunov exponent趋于稳定。根据混沌理论的相空间重构可以确定起嵌入维度,根据最佳相关维数我们可以确定影响某公司在一段时间的普通股收盘价的因素,根据Lyapunov exponent与可预报时间尺度的关系,还能决定对股票价格进行准确的预报的时间长度(大约天数),在此时间之外的中期或长期预测是无多大意义的。
同样根据上述理论我们也可以对其他经济现象进行混沌的存在性进行检测或者验证。例如:上证指数是描述股市变化总体特征,是一个晴雨表,对关联限维度及最大的Lyapunov exponent计算,可判断上证指数的时间序列如同股票价格的波动、期货价格的波动、汇率的波动一样存在混沌现象。当我们得出影响这—经济序列的最优嵌入维度,这一维度就是实践中影响这一经济现象的各个因素。例如:得出汇率波动影响的维度为4,那么影响这一波动的因素大致可能是国际收支、国家银外汇储备、利率、通货膨胀等。通过对这些因素的分析我们可以抓住影响汇率波动的主要因素,以便我们对市场进行有效的分析。通过对Lyapunov exponent的计算表明,当传统方法对经济时间序列的分析所遇到的困难时,有必要考虑其中的非线性机制。
四、金融市场的动荡与分形
混沌理论表明:在任何混乱、生命系统与无秩序的现象中,都可以发现分形几何学的踪影。分形几何是混沌理论的一种工具,分形分析为气象学、地质学、医学、期货交易等,各个研究领域带来了革命性的发展,并能提供分析市场的技巧。它以一种截然不同的新的观念及截然不同的方法处理市场信息,这项新的观念将深切影响我们的未来。分形分析是一种强而有力的新范式,配合着量子力学与相对论,它们使伽利略以来的科学世界趋于完备。一个非线性系统,并非在任何条件下都做混沌运动。只有当某个参量到达某阈值时,系统才进入混沌状态。在此之前,系统的运动可能出现周期岔,而且相继分岔时的值的间隔越来越小。1978年费根鲍姆发现,相继出现分岔的值的间隔之比趋于一常数,即所谓费根鲍姆常数,它显示了倍周期分岔系列的一种通性。
分形几何可以衡量变动,树木的每一次分叉,河流的每一次弯曲,市场的每一次转折点,都是决策点,分形实际上是代表分形的维度。假定你从远处观察一个几十厘米大的线团,它看起来就像一个点,而点的维度为零。逐渐走近线团时,你发现它是一个线团,并且具有三个维度。当你非常接近它时,你发现它由单一维度的线所构成。如果你以高倍率放大镜观察它,你发现线也具有三个维度。所以,这完全取决于观察的角度,线团可以是零维度,其次是三维度,再次是一维度,最后又是三维度。
市场中的情况也是如此,你的角度或你当时采用的范式,将决定你会看见什么。事实上,你当时的角度便是你的范式。如果你是由线性的角度观察,你将无法看见“真实的”市场,并在交易中处于不利的地位。当原因与结果之间的关系并不确定时,便产生非线性的现象。在牛顿的世界里,原因与结果之间存在必然的关系,在欧几里得几何学中,所有的形状都具有平滑而规则的性质。然而,这两种方法都无法解释市场的行为。非线性有非线性的性质,相同大小的原因可能导致不同的结果。例如,利率上涨10个基点(原因)对于特定市场造成的影响(结果)并不一定。
分形也可以衡量不规则性。金融市场愈不规则而动荡愈剧烈时,分形数便愈大。在市场行情的反转点,分形数也将到达相对最大值。所以,趋势反转时,当时的分形数将大于附近的分形数。因为市场是由人类,价格与时间等活动构成的一种非线性的混乱系统, 而市场行为仅是个别交易者分形行为的综合体,而此综合体也非常类似于个别的行为,所以金融市场是观察分形结构的好场所。自然界中,时间与混乱程度产生复杂结构,没有随机性,如果我们可以找到市场的分形结构,就可以了解市场的行为,可以察觉到其中的秩序与可预测性。
混沌理论不是根据过去的行为建立模型,并将它套用于未来,该理论以一个崭新而刺激的思维模式去观察市场。目前用混沌理论研究金融市场已经成为了金融领域的前沿科学,它给我们带来新的思维及新的市场预测方式,前景光明。