学生de Vries研究了浅水波的运动,提出了一种浅水波方程[2],也就是著名的KdV方程:
ut-6uux+uxxx=0
并找到了其孤立波解,确定了孤立波的存在性。随后,孤立子取得了突飞猛进的发展。各个领域中出现了各种孤子方程(非线性偏微分方程),如MKdV方程、Shrödinger方程、sine-Gordon 方程、经典Boussinesq方程等等,相继被建立、发展和不断完善,求解非线性孤子方程的各种可积性质也不断被发现,如多孤子解、Bäcklund变换、非线性叠加公式等。
一百多年前,J.G.Darboux在研究Sturm一Liouville方程时首先引进达布变换[3],它是求解非线性演化方程显式精确解的十分有效的方法之一,构造达布变换的前提条件是给出方程的Lax表示,反复多次利用达布变换可以得到方程的多孤子解,在这方面已发展了很多技巧并应用于求解多种孤子方程。
本文以KdV方程为例,详细介绍了两种情况下达布变换的构造方法,同时也给出了相应的贝克隆变换,并在计算机上利用Maple软件得到了实现。
1 拉克斯方程
拉克斯(P.D.Lax)最早指出,孤子方程可以用以下方式导出[4]:
给定一个线性算子,满足谱方程:
参数λ与t无关,谱不变,
φ還满足以下线性方程:
若要求φ同时满足(1)、(3),则L、A满足以下算子方程:
Lt=AL-LA=[A,L]
该方程称为拉克斯方程,L、A称为拉克斯对
2 达布变换
有了孤子方程的拉克斯表示,可以构造这些方程的达布变换和贝克隆变换。下面以KdV方程(4)为例,作以详细介绍:
为了构造KdV方程(4)的达布变换,可以将Lφ=λφ,φt=Aφ
写成如下矩阵形式:
由(10)、(12),得
所以
下面分h11=0和h11=1两种情况讨论KdV方程(4)的达布变换和贝克隆变换:
第一种情况:
取h11=0
代入(18),得到KdV方程(4)的贝克隆变换的时间部分:
此时达布矩阵为
为了写出达布矩阵,取线性方程(6)的一个特解
于是KdV方程(4)的达布变换可以写为:
其中τ线性方程(6)在 时的一个特解。
第二种情况:
取h11=1
为了写出达布矩阵,取线性方程(6)的一个特解
于是KdV方程(4)的达布变换可以写为:
其中τ线性方程(6)在 时的一个特解。
3 结论
构造出非线性演化方程的达布变换和贝克隆变换之后,既说明了此类方程是可积的,又可以进一步反复利用达布变换可以得到方程的多孤子解。还可以进一步求出它们的非线性叠加公式,如果导出了这些非线性微分方程的非线性叠加公式,那么寻找这个方程精确解的问题就变成了纯粹的代数问题,这给求解非线性发展方程带来极大的方便。
资助项目:
北京市教育委员会科技计划面上项目资助(KM201511417007), 北京联合大学新起点计划项目资助(ZK10201412),北京市属高等学校高层次人才引进与培养计划项目资助(CIT&TCD201404080)。
参考文献
Russell J S.Reports on waves[J].Edinburgh:Proc Royal Soc,1844,311-390.
Korteweg D J,de Vries G.On the change of form long waves advancing in a rectangular canal,and on a new type of long stationary waves[J]. Phil.Mag,1895,39(24):422-443.
Li Y S et al.Darboux transformation of classical Boussinesq system and its multi-Soliton solutions[J].Phys LettA,2001,284(6):253-258.
李翊神.孤子与可积系统[M].上海科技教育出版社,1999:9-10.