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摘要:针对传统有限元分析的复杂性以及裂缝描述不准确等缺点,从空间应力单元出发,结合平面等效桁架单元的研究方法,提出了一种空间等效桁架单元;基于空间等效桁架单元和空间应力单元刚度等效的原则,推导了等效后的单元刚度矩阵、杆件截面面积和杆件轴力计算公式,探讨了空间等效桁架单元应用于钢筋混凝土结构非线性分析的相关问题;借助ANSYS 10.0采用该方法对一桥墩结构进行计算分析,并与采用平面等效桁架单元方法和试验方法所得结果进行了对比。结果表明:采用该方法对钢筋混凝土结构进行分析能够满足工程精度要求,并且能够准确描述裂缝的开展。
关键词:空间等效桁架单元;有限元法;刚度等效;钢筋混凝土结构;非线性分析
中图分类号:TU311.41文献标志码:A
0引言
有限元法作为一种重要的数值分析方法,由于其通用性和有效性,已经成为工程分析计算中应用最为广泛的一种数值计算方法。1967年,美国学者Ngo和Scordelis发表了第1篇在钢筋混凝土中应用非线性有限元方法的论文,他们用有限元法对钢筋混凝土简支梁进行了抗剪分析[1]。此后,越来越多从事结构工程的研究人员将这种方法应用于钢筋混凝土结构分析,并取得了丰硕的研究成果。
采用传统的有限元法分析钢筋混凝土结构时,需要根据不同的单元类型构造不同的形函数,尤其对于多节点三维问题单元,形函数往往形式复杂且难于推导[2]。在裂缝处理问题上,传统有限元分析中常采用离散裂缝模式和片状裂缝模式[3],采用离散裂缝模式时,一旦单元出现新的裂缝就要重新划分网格,计算过程复杂且很费时,而采用片状裂缝模式时,则不能对裂缝的位置、长度和形状给出满意的描述。本文根据平面等效桁架单元[45]的思想,提出一种由24根一维杆件组成的空间等效桁架单元,这种单元最大的特点是用一维杆件受力状态表示三维受力状态,无需设置形函数,简化计算,并且单元中杆件的断裂可以清晰地模拟钢筋和混凝土的破坏,从而可以追踪构件或结构破坏的全过程。本文采用提出的空间等效桁架单元方法对一桥墩结构进行非线性分析,并与平面等效桁架单元方法和试验方法所得结果进行对比,探讨该方法用于钢筋混凝土结构分析的可行性。
1空间等效桁架单元
1.1单元模型及基本假设
图1(a)为空间微元体单元,假设x,y,z方向的尺寸dx=dy=dz=h,微元体材料的弹性模量为E,剪切模量为G,泊松比为μ。图1(b)为空间等效桁架单元,其外观尺寸与空间微元体单元相同,外围杆件长度均为h,内部斜杆长度为2h。同时假设外围杆件等效截面面积为A1,轴向抗拉(压)刚度为k1,内部斜杆等效截面面积为A2,轴向抗拉(压)刚度为k2。
1.2单元刚度矩阵
依次对空间等效桁架单元节点进行编号,如图2所示。
1.3等效分析
空间等效桁架单元由空间微元体单元等效而来,等效原则是刚度等效,即在相同的节点荷载作用下结构变形相等。本文考虑空间等效桁架单元与空间微元体单元的正应变等效和剪应变等效,并考虑泊松比的影响,进而得到由空间微元体参数表示的空间等效桁架单元的单元刚度矩阵。
1.3.1正应变等效分析
对空间微元体单元与空间等效桁架单元施加如图3所示任意大小的单位节点荷载P,单元将产生正应变,根据等效原则,节点位移应相等,即δ1=δ′1,δ2=δ′2,δ3=δ′3。
1.3.3剪切刚度对比
从前文推导可知,在正应变和剪应变等效下,由斜杆的刚度k2相等可得
当μ=0.25时,式(7),(8)中的剪切模量G相等,实际混凝土μ值范围为0.15~0.23,与μ=0.25很接近,且实际混凝土在轴压作用下泊松比有所增长,同时从文献[6]可知,用正应变等效得到的斜杆刚度代替剪应变等效得到的斜杆刚度,计算误差很小,对结果影响不大。
1.4杆件等效截面面积
根据材料力学原理和求得的杆件等效刚度k1,k2,可得杆件的等效截面面积A1,A2分别为
1.5单元中各杆轴力的计算
求出各节点的位移之后,可以根据每根杆件的刚度和节点位移求出各杆件的轴力Ne,即
式中:A为杆件截面面积;L为杆件长度;i,j分别为杆件两端节点编号;θx,θy,θz分别为杆件与x,y,z轴的夹角;u,v,w分别为杆端沿x,y,z轴的位移。
2模型在钢筋混凝土结构非线性分析中的应用2.1钢筋混凝土结构有限元模型及基本假定
本文钢筋混凝土结构有限元模型采用分离式模型,把钢筋混凝土结构离散为混凝土单元和钢筋单元,混凝土单元采用本文推导的空间等效桁架单元,钢筋单元采用杆件单元,其单元刚度矩阵Ks按照式(11)进行计算,即
式中:Es,As分别为钢筋的弹性模量和截面面积;α=cos(θx);β=cos(θy);γ=cos(θz)。
将混凝土单元刚度矩阵和钢筋单元刚度矩阵按照刚度集成原理进行集成,可得钢筋混凝土结构有限元模型的整体刚度矩阵。
在一般的钢筋混凝土结构中,可以认为钢筋和混凝土之间粘结整体性比较好,二者之间没有相对滑移。混凝土空间等效桁架单元与钢筋单元在节点处相互铰接,二者之间位移完全协调。本文采用的钢筋混凝土空间等效桁架单元模型如图5所示。
2.2钢筋混凝土材料本构关系和破坏准则
本文根据空间等效桁架单元的组成特征,混凝土材料采用在单向受力作用下的本构关系,当混凝土构件处于受压状态时,应力应变关系采用式(12)所示的Hongnestad分段表达式[7],即
σ=σ0[2εε0-(εε0)2]0≤ε≤ε0
σ0(1-0.15ε-ε0εu-ε0)ε0<ε≤εu(12)
式中:σ0,ε0分别为混凝土达到抗压强度时的应力和应变;εu为混凝土的极限压应变;σ为混凝土应力;ε为混凝土应变。
式(12)中当混凝土应变达到极限压应变εu=0.003 3时,认为桁架杆压坏,当混凝土构件处于受拉状态时,应力应变关系采用式(13)所示的直线表达式[8],即
σ=ftεtε0<ε≤εt(13)
式中:ft为混凝土的抗拉强度;εt为混凝土达到抗拉强度时的拉应变。
式(13)中不考虑下降段的影响,当混凝土拉应力达到抗拉强度时,认为桁架杆拉坏。
一般的钢筋混凝土结构破坏时钢筋的应变都小于0.01,没有进入强化阶段,因此,在本文的空间等效桁架模型中,钢筋的应力应变关系采用式(14)所示的理想弹塑性模型[3],即
σs=fyεy-εy≤εs≤εy
fyεy<εs≤εb或-εb≤εs<-εy, εb≤0.01(14)
式中:σs为钢筋应力;εs为钢筋应变;fy为钢筋的屈服强度;εy为钢筋达到屈服强度时的屈服应变;εb为钢筋的极限应变。
钢筋在屈服点以前应力应变关系符合胡克定律,屈服点以后按理想的塑性体工作,且极限应变规定为εb=0.01。
2.3混凝土单元破坏及裂缝处理
在本文空间等效桁架单元中,空间微元体单元中各种复合受力状态都转换成了桁架单元中各杆的轴向受力状态,当杆件的拉应力超过开裂强度之后,即认为该杆件受拉开裂,退出工作,同时释放单元内力,将单元内力转化成节点力重新进行迭代计算。杆件开裂后记录下杆件的位置,在后续加载中重复上述步骤,然后将所有标注的裂缝位置用曲线连接起来,就可以描述裂缝的分布和走势。
2.4钢筋单元屈服后的处理
在有限元计算过程中,当钢筋单元超过屈服条件时,须根据钢筋采用的单元形式和应力应变关系作出相应的调整。在施加某一级荷载增量的过程中,当钢筋应变超过εy达到ε1时,须做相应的处理[7]:调整弹性模量E的取值,此时E=0;同时将超额应力转换成节点力重新进行分配,按屈服前钢筋弹性模量E0计算的钢筋应力σs=E0ε1超过了钢筋的屈服强度fy,把超额应力σex=σs-fy转化成节点力Fe,即
3钢筋混凝土桥墩非线性分析算例
文献[6]做了钢筋混凝土桥墩模型试验,模型的尺寸及配筋如图6所示。该模型由1个墩身与1个底座组成,墩身截面尺寸为200 mm×200 mm,墩身高为1 200 mm,墩身顶部施加的轴力N=155 kN,横向荷载F施加在模型的左侧,荷载加载点与墩底的距离为1 000 mm,模型所用材料混凝土强度为27.66 MPa,纵向钢筋的屈服应力为392.95 MPa,弹性模量为2.0×105 MPa,箍筋的屈服应力为210 MPa,弹性模量为2.1×105 MPa。
借助ANSYS 10.0采用本文空间等效桁架单元和文献[5]平面等效桁架单元,分别对钢筋混凝土桥墩进行非线性分析。用空间等效桁架单元对钢筋混凝土结构进行网格划分时,采用本文第2.1节中介绍的计算模型,将混凝土单元转化成空间等效桁架单元,单元外围尺寸为25 mm,钢筋单元为一维杆单元,假定钢筋与混凝土单元之间粘结良好,不需插入粘结单元,二者在节点处直接连接,钢筋和混凝土的本构关系采用第2.2节中介绍的单轴受力作用下的本构关系。
将用空间等效桁架单元和平面等效桁架单元计算得到的荷载位移曲线与试验得到的曲线进行比较,如图7所示。从图7可以看出:用空间等效桁架单元计算得到的极限荷载为31.32 kN,平面等效桁架单元计算得到的极限荷载为27.18 kN,试验得到的极限荷载为33.21 kN;空间等效桁架单元精度优于平面等效桁架单元,这是因为平面问题是空间问题的一种简化,空间等效桁架单元计算结果与试验结果相差5.69%,满足工程精度要求。
用本文空间等效桁架单元分析钢筋混凝土结构的另一重要特点就是裂缝的模拟,在本文中混凝土单元用空间等效桁架单元代替,当单元中杆件达到抗拉强度时,混凝土杆件断裂,可以根据杆件的断裂位置描述裂缝的发展情况。本文模型的剪跨比λ=5,属于弯曲型结构形式,其在极限荷载作用下的变形及裂缝如图8所示。从图8可以看出,在底部截面附近,由于弯矩、应力比较大,竖向杆件相继被拉断,将拉断的杆件连接起来可以形成一条条横向的弯曲型裂缝,符合实际结构的受力特点。
4结语
(1)采用空间等效桁架单元代替空间微元体单元对三维问题进行分析是可行的,特别是对于钢筋混凝土结构,在满足工程精度要求的情况下,不仅能将复杂的模型简单化,而且还能够准确地描述裂缝的开展。
(2)对于钢筋混凝土结构,确定混凝土材料的本构关系、破坏准则、钢筋屈服准则和钢筋混凝土组合模型就可以用空间等效桁架单元模型模拟整个构件从加载到破坏的全过程。需要指出的是,本文未考虑几何非线性问题。
(3)对空间等效桁架单元的研究尚处于起步阶段,如何将此种单元与其他单元组合应用等问题还需进一步研究。
参考文献:
[1]NGO D,SCORDELIS A C.Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Beams[J].ACI Journal Proceedings,1967,64(3):152163.
[2]王传志,过镇海,张秀琴.二轴和三轴受压混凝土的强度试验[J].土木工程学报,1987,20(1):1527.
WANG Chuanzhi,GUO Zhenhai,ZHANG Xiuqin.Experimental Investigation of Concrete Strength Under Biaxial and Triaxial Compressive Stresses[J].China Civil Engineering Journal,1987,20(1):1527.
[3]吕西林,金国芳,吴晓涵.钢筋混凝土结构非线性有限元理论与应用[M].上海:同济大学出版社,1997.
LU Xilin,JIN Guofang,WU Xiaohan.Nonlinear FEM Theory and Application of Reinforced Concrete Structures[M].Shanghai:Tongji University Press,1997.
[4]HIRAISHI H.Evaluation of Shear and Flexural Deformations of Flexural Type Shear Walls[J].Bulletin of the New Zealand National Society for Earthquake Engineering,1984,17(2):135144.
[5]吴方伯,丁先立,周绪红,等.采用等效平面桁架单元对钢筋混凝土结构进行非线性分析[J].建筑结构学报,2005,26(5):112117.
WU Fangbo,DING Xianli,ZHOU Xuhong,et al.Study on the Nonlinear Analysis of Reinforced Concrete Structures by Equivalent Plane Truss Element Method[J].Journal of Building Structures,2005,26(5):112117.
[6]秦东.钢筋混凝土桥墩横向地震破坏与倒塌的计算机仿真[D].上海:同济大学,2000.
QIN Dong.Computer Simulation for Transverse Earthquake Damage and the Collapse of Reinforced Concrete Bridge Pier[D].Shanghai:Tongji University,2000.
[7]江见鲸.钢筋混凝土结构非线性有限元分析[M].西安:陕西科学技术出版社,1994.
JIANG Jianjing.Nonlinear Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Structure[M].Xian:Shaanxi Science and Technology Press,1994.
[8]康清梁.钢筋混凝土有限元分析[M].北京:中国水利水电出版社,1996.
KANG Qingliang.Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Structure[M].Beijing:China Water & Power Press,1996.