【摘 要】 数学知识的内部结构是一个纵横交错的“问题”结构,面对数学问题,探索其与纵向或横向知识有联系的若干问题,必须要充分理解数学问题延拓的含义以及进行数学问题延拓时的作用。
【关键词】数学 问题 延拓
1、问题:数学学习的核心
数学起源于解决生活中的实际应用问题,而层出不穷的问题推动数学的发展,所以问题是数学的心脏,这已经成为人们对数学本质的深刻认识。问题的功能有助于知识的了解与掌握、理解与应用、调节与评价、教育与发展。
2、“问题延拓”的内涵
“问题延拓”是指面对数学问题,不断探索发展规律、寻找新的联系、论证其真实性,找到具有内在联系的若干问题的组合。对于目前数学内容较多,且内容难度比以前有所增加,学生难以把各块数学内容串联起来,就难以接受老师传递的新知识,也无法使“知识逻辑”与“认知逻辑”之间互相沟通。
3、“问题延拓”的表现形式
数学中“问题延拓”设计的好坏直接影响学生知识结构的形成、思维能力的提高、发现问题的意识、创新意识的培养及身心健康的发展。
3.1 横向延拓
横向延拓是指对题目的一题多解,一题多证,用多种知识和方法处理同一类问题,使问题涉及的知识和方法用到数学的多种不同知识点,力求沟通它们之间的联系,启发学生根据题目的条件和特点进行联想,激发学生积极思维,开阔思路,大胆想象,从多方面、多角度去思考,深层次地认识问题的本质,从中找出解题的规律和方法。
3.1.1 向左延拓
向左延拓就是针对每道练习,通过去掉或增加部分条件、改变条件或采用引申发问等方法,得到一些新的练习。
例1:一张长方形纸的长和宽分别是10cm和5cm。减去20cm2纸后,剩下的仍是一个长方形。求剩下长方形的周长是多少?
分析:
第一种剪法:剪去长边,长边变短,宽不变。剩下长方形的长为:10-20÷5=6(cm)剩下长方形的周长:(6+5)×2=22(cm)
第二种剪法:剪去宽边,宽边变短,长不变。剩下长方形的宽:5-20÷10=3(cm)剩下长方形的周长:(10+3)×2=26(cm)
延伸问题1:将条件一张长方形纸的长和宽分别是10cm和5cm改为一张长方形纸的面积为50cm2,长和宽都为整厘米数,其它条件不变。此时需考虑长和宽为2cm、25cm或5cm、10cm两种情况。再接着按照上面的步骤求出周长即可。
问题的向左延拓把差不多的问题放在了不同的情况下,让学生对这些题目感觉既熟悉又陌生,对知识起到了回顾作用,让学生加深对这个知识点的了解和应用。
3.1.2 向右延拓
向右延拓就是我们平常说的反向思维或逆向思维法,也就是从结果推出原因,从而得出一个与原题差不多的新题。
例2:小刚在计算9.6+2.9时,不小心把2.9看成29,那他算的得数比正确得数大多少?
这道题目可以通过向右延拓法,可变为:小刚计算某数加9.6时,把这个数误看成了29,算得的结果比原来大26.1,正确答案是多少?
逆想能力强的学生就能自觉地调整思考方向,从变化的量逆想到不变的量,先计算出不变量是:29-26.1=2.9,再2.9+9.6=12.5。
3.2 纵向延拓
纵向延拓主要是通过改变题目的条件和结论,得出更加一般化的方法和结论。这样可以连接新旧知识,启发学生对题目的思考,培养学生思维的灵活性、变通性和创造性。
3.2.1 向上延拓
向上延拓,就是把一道题目,在不改变其主要思路的前提下,在不同的情况中得到不同的解法。
例3:AB两地相距420km,一列慢车从 地开出,每小时走40km。一列快车从B地出发,每小时走50km,两车同时开出,相向而行,几小时后两车相遇?
延拓1:慢车先开出2小时,相向而行,快车开出几小时后两车能相遇?
延拓2:两车同时开出,相向而行,几小时两车相遇后又相距30km?
延拓3:两车同时开出,相背而行,几小时之后,两车相距480km。
通过向上延拓,学生们不仅巩固和深化了对相遇问题的理解,还会分析解答数学问题的多种不同方法。
3.2.2 向下延拓
向下延拓就是通过将几个不同题目组合起来,得到新题。
例4:乘法问题:一栋教学楼有4层,每层有6间教室,共有几间教室?
减法问题:一栋教学楼有24间教室,学校给18间装了空调,还有几间教室没有装?
将上面两个组合起来,可以编出下题:一栋教学楼有4层,每层有6间教室,学校给18间装了空调,还有几间教室没有装?
通过向下延拓法重新改编了下题目,加强了知识的横向、纵向联系,从而使学生对所学知识融合贯通。
4、问题延拓在数学教学中的注意点
构建问题延拓所追求的目标是:让学生有分析和讨论数学问题的习惯,对问题始终保持分析的态度,能够正确评价问题中的蕴含的数学思想与方法。
4.1 培养问题延拓的意识
问题延拓的意识是指有意识地进行思考数学问题,促使个体朝某个方向去思考,并以审视的眼光去看待问题。教师应创设开放的问题情景,引导和注重学生提出和改造问题,开发学生的好奇感,做好学习反馈信息。
4.2 理解分析问题的价值和意义,强化反例性证明
研究和解决问题主要有两个方面:一是对所给的条件和问题做出证明,说明论证是正确的;二是对问题思想过程做出反驳,说明结论是错误的。学生数学问题的延拓,往往对问题的理解似是而非,所以对学生做出的延拓,可用反例来说明其准确性。
5、问题延拓的价值分析
以上提出的“问题延拓”类同于方法或规律,在实际运用中往往会混合使用,以便能更好地适应实际运用的需要。实践研究发现这些原则下设计“问题延拓”,能够提高问题解决的迁移效果,增强数学知识结构的联系,学生容易理解数学中抽象知识的科学解释。但是,这些问题延拓的结论效度还是有一定的局限性,这是因为:一是学习的材料还需要检验的过程;二是延拓的普通性问题,是否适合于其它课程的教学;三是影响数学问题的意识与数学学习的兴趣是多方面的,通常还是独立起作用的,所以还有必要明确它们相互作用的途径。
参考文献
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