摘要:函数列的一致收敛性概念在微分方程求解、控制理论、近似计算与误差估计等方面有重要应用。本文给出二元函数列的定义。引进了二元函数列一致收敛、局部一致收敛与次一致收敛的概念。研究了它们之间的蕴含关系。讨论了二元函数列的性质,给出了相应的例子。给出了二元函数列一致收敛的判别法和极限函数连续、可导及可积的充分条件。
关键词:二元函数列;一致收敛;次一致收敛;局部一致收敛;收敛性判别法
一元函数列收敛性理论,是数学分析的基本理论之一。用函数列的极限函数表示函数是函数表达的一种重要手段,这是表达非初等函数的一种手段。函数列的收敛性也是讨论函数项级数收敛的重要方法。函数列的一致收敛性通常应用在微分方程求解理论研究,经济控制理论,人口控制理论,函数项级数的收敛性研究,含参变量积分计算,近似计算与误差估计等方面。本文研究二元函数列的收敛性。
1.首先,综述了一元函数列相关定义和定理。然后,给出二元函数列的定义。通过类比方法讨论了二元函数列的性质,给出了相应的一些例子。引进了二元函数列一致收敛、局部一致收敛与次一致收敛的概念。讨论了它们之间的蕴含关系。给出了判定二元函数列一致收敛的柯西准则和二元函数列的极限函数连续、可导及可积的充分条件。
2.二元函数列的基本概念以及它的几种收敛性的蕴含关系
定义2.1 设函数列{fn(x,y)}与f(x,y)定义在区域 D上,若对每一固定的P(x,y)∈D,对任意给定的ε>0,总存在着正整数N(N值与ε,x,y的值有关),当n>N时,总有|fn(x,y)-f(x,y)|<ε,则称{fn(x,y)}在D上逐点收敛于f(x,y)。
例1.设fn(x,y)=(x2+y2)n,n=1,2,3…为定义在R2上的二元函数列,证明它的收敛域为D={(x,y)|x2+y2≤1},且有极限函数
f(x,y)=0,x2+y2<11,x2+y2=1
证明 任给ε>0,当0<x2+y2<1时,由于|fn(x,y)-f(x,y)|=|(x2+y2)|n,只要取N(ε,x,y)=(lnε)/ln(x2+y2),当n>N(ε,x,y),就有|fn(x,y)-f(x,y)|<ε,当x2+y2=0和x2+y2=1时,则对任给正整数n,都有|fn(0,0)-0|=0<ε,或者|fn(x,y)-f(x,y)|=|1n-1|=0<ε,当x2+y2>1时,则有(x2+y2)n→+∞(n→∞),所以这个二元函数列在区域{(x,y)|x2+y2>1}是发散的。所以命题得证。
定义2.2 设fn(x,y)n∈N与二次函数f(x,y)定义在同一区域D?奂R2上,若对?坌ε>0,总存在N>0(N值只与ε的值有关),使得当n>N时,对一切P(x,y)∈D都有|fn(x,y)-f(x,y)|<ε,则称{fn(x,y)}在D?奂R2上一致收敛于f(x,y)。
定义2.3 设fn(x,y)n∈N与f(x,y)定义在区域D?奂R2上,{fn(x,y)}收敛于f(x,y)。若对?坌ε>0,?坌P0(x0,y0)∈D,?坌m>N都存在δ>0及n0>m,使得对?坌(x,y)∈U(P0,δ),都有|fn0(x,y)-f(x,y)|<ε,则称{fn(x,y)}在D?奂R2上局部一致收敛于f(x,y)([1])。
定义2.4 二元函数列{fn(x,y)}n∈N与二元函数f(x,y)定义在区域D?奂R2上,{fn(x,y)}收敛于f(x,y)。如果对?坌ε>0,?坌m>N,区域D?奂R2总可以用有限个开区域Ω1,Ω2,……,Ωk覆盖,并且有相应的一组大于m的自然数n1,n2,……,nk,使得对?坌(x,y)∈Ω1,恒有|fn1(x,y)-f(x,y)|<ε(i=1,2,……,k)则称{fn(x,y)}在D上次一致收敛于f(x,y)([1])。
定理1.设二元函数列{fn(x,y)}在D?奂R2上连续。且在D?奂R2上■f(x,y)=f(x,y),则fn(x,y)在D?奂R2上连续的充要条件是:fn(x,y)在D?奂R2上局部一致收敛于f(x,y)([1])。
定理2.若{fn(x,y)}在D?奂R2上一致收敛于二元函数f(x,y),则{fn(x,y)}在D?奂R2上次一致收敛于f(x,y),进而{fn(x,y)在D?奂R2上局部一致收敛于f(x,y)[3]。
定理3.如果D是有界闭区域,则{fn(x,y)}在D上次一致收敛于f(x,y)的充要条件是{fn(x,y)}在D上局部一致收敛于f(x,y)([4])。
二元函数列的收敛性不能保证它的极限函数的连续性
例2.fn(x,y)=(x+y)n,当x+y<1时,f(x,y)=0,而当x+y=1时,f(x,y)=1,在x+y=1处不连续;此函数列收敛域为-1<x+y≤1。
例3.fn(x,y)=1/(1+n(x2+y2)),当(x,y)≠(0,0)时, f(x,y)=0,而f(0,0)=1,在点(0,0)处不连续,此函数列收敛域为D?奂R2。
3.二元函数列一致收敛判别法与一致收敛的二元函数列的性质
定理4.函数列{fn(x,y)}在区域D?奂R2上一致收敛的充要条件是:对任给正数ε,总存在正数N,使得当 n,m>N时,对一切(x,y)∈D,都有|fn(x,y)-fm(x,y)|<ε
推论1.函数列{fn(x,y)}在区域D?奂R2上一致收敛的充要条件是:
■■|fn(x,y)-f(x,y)|=0
命题1.设二元函数列{fn(x,y)}在U0(P0,δ)上一致收敛于f(x,y),且对每一n,■fn(x,y)=an,则■an和 ■fn(x,y)均存在且相等([4])。
这个定理指出:在一致收敛的条件下,{fn(x,y)}两个独立变量n和P(x,y),在分别求极限时其求极限的顺序可以交换,即■■fn(x,y)=■■fn(x,y)
命题2.(连续性) 若二元函数列{fn(x,y)}在区域 D?奂R2上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数f(x,y)在D?奂R2上也连续([4])。
命题3(可积性) 若二元函数列{fn(x,y)}在区域 D?奂R2上一致收敛,且每一项都连续,则
■■fn(x,y)dσ=■■fn(x,y)dσ(1)
证明:设fn(x,y)为二元函数列{fn(x,y)}在区域D上的极限函数。由命题2,f(x,y)在区域D上连续,从而fn(x,y)(n=1,2,3…)与f(x,y)在D上都可积。
因为在区域D上fn(x,y)?圯f(x,y)(n→∞),故对任意正数ε,存在N,当n>N时,对一切P(x,y)∈D,都有|fn(x,y)-f(x,y)|<ε再根据定积分的性质,当n>N时有
|■fn(x,y)dσ-■f(x,y)dσ|=|■fn(x,y)-■f(x,y)dσ|≤■|fn(x,y)-f(x,y)|dσ≤εSD,
(SD为区域D的面积)。即等式(1)成立。
命题4(可导性) 设{fn(x,y)}定义在区域D?奂R2,若P0(x0,y)∈D为{fn(x,y)}的收敛点,二元函数列{fn(x,y)}的每一项在D?奂R2上有连续的偏导数,且二元函数列{fn(x,y)}在D?奂R2上一致收敛,则
■(■fn(x,y))=■■fn(x,y)(1)
证明:设fn(x0,y0)→A(n→∞),fn"(x0,y0)一致收敛于g(x,y),P0(x0,y0)∈D要证明函数列{fn(x,y)}在区域 D上收敛,且其极限函数的偏导数存在且等于g(x,y)。由命题条件,对任一P0(x0,y0)∈D,总有
fn(x,y)=fn(x0,y0)+■fn"(t,y)dt
当n→∞时,右边第一项极限为A,第二项极限■g(t,y)dt(命题3),则左边极限存在,记为f(x,y),则有f(x,y)=■fn(x,y)=f(x0,y0)+■g(t,y)dt,其中f(x0,y0)=A,由g(x,y)的连续性及微积分学的基本定理,得?坠f(x,y)/(?坠x)=g(x,y),故(2)式成立。
该定理指出:在一致收敛的条件下,极限运算与求偏导运算的顺序可以交换。
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基金项目:受科技部项目(数学类)课题立项项目(2009IM010400-1-01)基金资助