(2)limn→∞(bn-an)=0
则存在唯一数L属于所有开区间(即I∞n=1(an,bn)=L),且limn→∞an=limn→∞bn=L
证明:构造一个闭区间列{[an,bn]}(n=1,2,…)。
设an′=an+an+12,bn′=bn+bn+12,n=1,2,…有[a′,b′][a2′,b2′]…[an′,bn′]…,
且有limn→∞(bn′-an′)=limn→∞(bn+an2+bn+1-an+12)=0
由闭区间套定理。存在唯一数L属于所有闭区间,[an′,bn′](n=1,2,3,…),显然这个唯一数L也属于所有开区间(an′,bn′)(n=1,2,3,…)且有
limn→∞a1n=limn→∞b1n=L但
limn→∞an=limn→∞a1n-1+a1n2=L=limn→∞b1n-1+b1n2=limn→∞bn所以也有
limn→∞an=limn→∞bn=L
下面我们把推证1加以推广
推论2:设有半开半闭区间列{(an,bn)}(n=1,2,…)数列{an}为非常数数列,且有
(1) (a1,b1](a2,b2]…(an,bn]…;
(2)limn→∞(bn-an)=0
则存在唯一数L属于所有半开闭区间(an,bn],且limn→∞an=limn→∞bn=L
证明:构造一个闭区间列{[an′,bn]}(n=1,2,…}a′=an+an+12满足闭区间套定理的条件,于是存在唯一数L属于所有闭区间[an′,bn],显然这个唯一数L也属于所有半开半闭区间(an,bn],且有limn→∞a1n=limn→∞bn=L,从而也有limn→∞an=limn→∞bn=L证毕。
把半开半闭区间(an,bn](n=1,2,L)换成[an,bn)(n=1,2,…)显然有
推论3:设有半开半闭区间{[an,bn]}(n=1,2,…)数列{bn}非常数数列,
且有:
(1) [a1,b1][a2,b2]…(an,bn]…;
(2)limn→∞(bn-an)=0
则存在唯一数L属于所有半开半闭区间[an,bn),且limn→∞an=limn→∞bn=L。
推论4:设有半开半闭区间列{(an,bn)}(n=1,2,…){an}非常数数列,设bn=b,
且有:
(1) [a1,b][a2,b]…(an,b]…;
(2)limn→∞(b-an)=0
则存在唯一数b属于所有半开半闭区间(an,b],且limn→∞an=b
证明:构造一个闭区间列{[an′,bn]}(n=1,2,…)设an′=an+an+12n=1,2,…。
则闭区间列{[an′,b]}满足闭区间套定理的条件,于是存在唯一数L属于所有闭区间[an′,b]且limn→∞an′=L,但由(2)知limn→∞an=b,且
limn→∞a1n=limn→∞an+an+12=limn→∞12(an+an+1)=12b+
12b=b,故L=b。
推论5:设有半开半闭区间列{[a,bn)}(n=1,2,L),{bn}非常数数列,
且有:(1) [a,b1][a,b2]…(a,bn]…;
(2)limn→∞(bn-a)=0
则存在唯一数a属于所有半开半闭区间[a,bn),且limn→∞bn=a
推论4和推论5是一种特例,不但存在唯一数L属于所有半开半闭区间列(an,b]或[a,bn)n=1,2,…,而且这个唯一数L就是端点a或b,需要注意的是,半开半闭区间{(an,b)}与{[a,bn]}的常数端点一侧必须是闭的,当然,若闭区间列的一个端点是常数a或b也有类似的结果。
3 闭区间套定理的应用
在什么情况下应用闭区间套定理呢?一般来说,证明问题需要找到具有某种性质P的一个数,常常应用闭区间套定理将这个数“套”出来,证明中,区间套定理的构造方法,主要有以下两种:
(1)已知特殊点的存在区间时,利用两分法构造区间,进而套出所求特殊点,首先构造一个具有性质P*的闭区间,性质P*要根据性质P来确定,其次通常采用二等分法将此区间二等分,至少由一个闭区间具有性质P*,然后继续使用二等分法,得到满足闭区间套定理条件的和具有性P*的闭区间列,根据闭区间套定理,就得到唯一一个具有性质P的数
例1:证明实轴上任一有界无限点集至少有一个聚点(聚点定理)
证明:设E为有界无限点集,则存在M>0,使得E[-M,M]记[a1,b]=[-M,M],将[a1,b1]等分:[a1a1+b12],[a1+b12b1],其中至少有一区间含有E中无限多个点,记该区间为[a2,b2],再对[a2,b2]等分,相似的讨论下去,则得到区间列{[an,bn]},它满足[an,bn][an+1,bn+1](n=1,2,…,bn-an=M2n-1→0),故{[an,bn]}构成闭区间套,且其中每一个区间都含有E中无限多个点,由闭区间套定理,存在实数L∈[an,bn](n=1,2,…)显然对ε>0,N>0当n>N时,有[an,bn]U(L,ε)即L为E的一个聚点。
例2:证明若f(x)为[a,b]上的连续函数,f(a)f(b)<0,则x0∈(a,b)便得f(x0)=0,(根的存在性定理)
证明:不妨设f(a)<0,f(b)>0,且x∈[a,b],f(x)≠0, 记[a1,b1]=[a,b],将[a1,b1]二等分,[a1,a1+b12],[a1+b12,b1],当f(a1+b12>0时,记 [a2,b2]=[a1,a1+b12]当f(a1+b12)<0记[a2,b2]=[a1+b12,b1] 则f(a2)f(b2)<0相似的讨论下去,则得到区间列{[an,bn]},它满足[an,bn][an+1,bn+1](n=1,2,…,bn-an=b-a2n-1→0)
故{[an,bn]}构成区间套,且在每个闭区间[a,b]有f(an)f(bn)<0,由闭区间套定理知存在x0∈[an,bn](n=1,2,…)limn→∞an=limn→∞bn=x0,而x0∈[a,b]故f(x0)≠0,不妨设f(x0)>0,一方面,由连续函数保号性,δ>0,当|x-x0|<δ,即x∈(x0-δ,x0+δ)有f(x)>0,另一方面,当n从分大时,有[an,bn](x0-δ,x0+δ),已知,f(an)f(bn)<0,即函数f(x)在(x0-δ,x0+δ)中某点的函数值小于0,矛盾,于是f(x0)>0,且f(x0)≠0,同理证f(x0)<0且f(x0)≠0,所以闭[a,b]内至少存在一点,使f(x0)=0
例3:用区间套定理证明有界定理
证明: f(x)在[a,b]上无界,则等分[a,b],即[a,b]=[a,a+b2]∪[a+b2,b]至少有一个子区间上f(x)无界,不妨为[a1,b1],将[a1,b1]等分,则存在子区间[a2,b2],使得f(x)在[a2,b2]上无界,依比类推,不断等分区间,则得到无穷闭区间列{[an,bn]}
(i) [a,b][a1,b1][a2,b2]…[an,bn]…
(ii) bn-an=b1-a12n→0,n→∞
(iii)f(x)有[an,bn]上无界,n∈N+
由(i)(iii)根据区间套定理,唯一L∈[a,b]使limn→∞an=limn→∞bn=L,而又由(iii)
n∈N+,xn∈[an,bn]使|f(xn)|>n,从而得到一点列{xn}及函数列{f(xn)},且
xn→L,f(xn)→∞ n→∞,由数列极限与连续函数极限的关系应有xn→L,f(xn)→f(L)这与f(x)→∞矛盾,故假设不成立,从而有界性定理得证。
(2)首先根据不等式确定特殊点的存在区间,再利用区间的收缩套出所求特殊点,在证明中常结合反证法证明。
例4:证明:设{an}为数列,若对任意的ε<0,存在N>0,使得对m,n>N有|am-an|<ε,则数列{an}收敛(数列柯西收敛准则之充分条件)
分析:由已知条件可得存在N0>N,当n>N0时,有|an-aN0|<ε即在区间
[aN0-ε,aN0+ε]内含有{an}中几乎所有项,由极限定义可知数列{an}收敛点,必在其内部,此时只需利用区间套定理证明该点的存在性。
证明:由假设,存在N0>N,当n>N0时,有,即在区间[aN0-ε,aN0+ε]内含有数列{an}中几乎所有项。
令ε=12则存在N1,在区间[α1,β1]=[aN1-12,aN1+12]内含有{an}中几乎所有项,令ε=122则存在N2,在区间[α2,β2]=[aN1-122,aN1+122]内含有{an}中几乎所有项;依次令ε=123,124L则得到闭区间列{[αn,βn]},满足:其中每个区间都含有{an}中几乎所有项;
[αn,βn][αn+1,βn+1](n=1,2,…,βn-αn12n-1→0)
显然{[αn,βn]}构成区间套,故L∈[αn,βn](n=1,2,3…),且对任意的ε>0,存在N>0,使得对n>N,有[αn,βn]V(L,ε),由极限定义,V(L,ε)内含有{an}中几乎所有项,即
limn→∞an=L。
例5:证明:若函数f(x)于(a,b)内有定义,x∈(a,b),邻域(x-δx,x+δx),使f(x)在(x-δx,x+δx)内严格增加,则f(x)在(a,b)内亦严格增加。
证:假设f(x)于(a,b)内非严格增加,即x1,y1∈(a,b),x1[x1,x1+y12]=[x2,y2],有f(x2)f(y2)或f(x1+y12)f(y1)时,记
[x1+y12,y]=[x2,y2],有f(x2)f(y2),再作
[x2,y2]=[x2,x1+y12]∪[x1+y12,y2]。其中必有一个小R间记为[x3,y3],有f(x3)f(y3),继续上述构造法,得到区间套{[xn,yn]},且满足
f(xn)f(yn),n=(1,2,3L)根据区间套定理,α∈[xn,yn]n=(1,2,3L)由于已知条件对于α∈(a,b),(α-δa,α+δa),f(x)在(α-δa,α+δa)内严格增加,但当n0充分大时[xn0,yn0](α-δa,α+δa)一方面,由作法有f(xn0f(yn0);另一方面f(x)在(α-δa,α+δa)内严格增加,两者矛盾,证毕。
例6:用区间套定理证明罗尔定理,从而证明微分中值定理。
证明:假设定理不成立,则L∈(a,b),都有f′(L)≠0,若恒有f′(L)>0,则可知函数f(x)是严格单调上升的,又Qf(x)有[a,b]上连续,∴f(a)0,f′(b1)<0,若f′(a1+b12)=0,则定理得证;否则若f′(a1+b12)>0,则令a2=
a1+b12,b2=b1;若f′(a1+b12)<0,则令a2=a1,b2=a1+b12,依此类推,若f′(an+bn2)=0,则定理得证;若f′(an+bn2)>0,则令an+1=an+bn2,bn+1=bn,若f′(an+bn2)<0则令an+1=an,bn+1=an+bn2这样,若总不能得到f′(an+bn2)=0,则得到了一无穷闭区间列{[an,bn]},显然
(i) [a,b][a1,b1][a2,b2]…[an,bn]…
(ii) bn-an=b1-a12n→0,n→∞
(iii)an,bn,f′(an)>0,f′(bn)<0
由条件(i)(ii)根据区间定理则有唯一点L∈[a1,b1]且an→L,bn→L,n→∞,但由(iii)应有f′(L)>0,且f′(L)<0矛盾,故这样的无穷闭区间列不存在。
因而在(a,b)中必存有一点L,使f′(L)=0,这样就证明了罗尔定理,然后用构造辅助函数的方法可以得到微分中值定理。
4 结束语
闭区间套定理是数学分析中一个重要定理,通过对其证明过程,推论及应用方面的研究,可以更为深刻的了解,如何通过构造区间,找出某些特殊存在的点来证明一些数学定理。
此定理不仅有数学教学中应用极为突出,在科学研究及日常生活中应用也很广泛,不仅推动了科学的发展,也给我们的生活带来了许多便利。
参考文献
[1] 陈传璋等.数学分析[上册].北京:高等教育出版社,1983年
[2] 张娓.区间套定理及应用[J].长沙大学学报,2000年第2期
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