打开文本图片集
摘要: 提出了基于全局灵敏度分析的有限元模型修正参数选择方法,考虑了参数整个变化空间的作用及参数间的相互作用,具有适用于参数不确定性大和无模型限制等优势。全局灵敏度分析常采用蒙托卡罗方法计算灵敏度指标,因此足够大的采样次数是获得可靠灵敏度指标的前提,但是同时会造成计算成本的增加。为此,采用高斯过程模型取代耗时的有限元模型用于降低计算成本,同时探讨了拉丁超立方抽样、Halton序列和Sobol序列3种空间采样方法用于全局灵敏度分析的计算效率,旨在选择一种高效的采样方法。最后,一桁架人行桥实例验证了有限元模型修正参数选择和采样选择方法。
关键词: 参数选择; 有限元模型修正; 全局灵敏度分析; 高斯过程模型; 拉丁超立方抽样
中图分类号: TB123 文献标志码: A 文章编号: 1004-4523(2015)05-0714-07
引 言
在工程领域,有限元模型被广泛地应用于基于模型的研究工作,一个能够准确表征结构行为的高精度有限元模型至关重要,而有限元模型修正是实现高精度有限元模型的方法之一。有限元模型修正包括确定目标函数、参数选择和数学优化估计修正参数这3个重要步骤[1]。复杂土木工程结构包含的参数较多,将所有参数用于模型修正是不现实的。如果不敏感的参数未被排除在修正参数之外,修正结果很可能会失去物理意义,因为自动的数学优化过程将会导致不敏感参数的大幅度修正。此外,剔除非敏感性参数会带来模型降阶,从而大大减轻了计算负担。因此,参数选择是结构有限元模型修正的关键问题之一。
目前广泛用于有限元模型修正参数筛选的方法为局部灵敏度分析[2],它采用直接求导法或者有限差分法计算参数的局部灵敏度。局部灵敏度分析反映的是单个参数在名义值处的局部梯度信息,不能度量参数在整个取值范围的作用和参数间的共同作用。因此,局部灵敏度分析不适用于参数变化范围较大的情况。全局灵敏度分析克服了局部灵敏度分析的不足,而且该方法不受模型限制,也就是说它适用于任何模型,比如高度非线性模型等。全局灵敏度分析已广泛的应用于各种研究领域,比如结构动力分析[3],管路系统设计[4]和结构可靠度分析[5]等。
但是,全局灵敏度分析计算花费高,因为蒙托卡罗方法需要大量采样以确保灵敏度指标的收敛。土木结构复杂,其通常模拟为高精度有限元模型,这样使得蛮力蒙托卡罗采样法 (bruteforce MCS,即直接基于有限元模型)不切实际。 因此,降低全局灵敏度分析应用于复杂土木结构的计算花费显得尤为重要。为此,本文采用高斯过程模型取代耗时的高精度有限元模型以降低全局灵敏度分析的计算成本。高斯过程模型具有评估预报的不确定性,能很好地处理高维、小样本和强非线性等复杂问题[6]。近年来,高斯过程模型已经在工程领域得到广泛的应用[5,711]。另一方面,选择一种高效的采样方法也是降低全局灵敏度分析计算花费的有效途径。空间采样方法因其具有样本良好的分布均匀性而受到研究者的青睐。本文对比了拉丁超立方抽样、Halton序列和Sobol序列3种常用的空间采样方法在全局灵敏度分析中的计算效率,旨在为选择一种高效的采样方法提供参考。
1 高斯过程模型
高斯过程模型是基于贝叶斯思想构建的:高斯先验用来定义模型输出,通过对训练样本集的最大似然估计得到预报值的后验高斯分布,高斯过程模型完全由它的均值函数和协方差函数完全决定。对于均值函数一般采用零均值函数,因为缺乏对潜在函数的总体趋势先验知识[12],并且零均值函数可以简化高斯过程模型的推导;对于协方差函数使用平方指数函数,该协方差函数具有使拟合的函数光滑且无限可导的优势C(xi,x′j)=σ2exp-12∑dk=1xki-xkjθk2
4 实桥算例
该桁架桥采用ANSYS进行有限元建模,桥面板采用质量单元(MASS21),其余构件均采用梁单元(BEAM44)。需要指出的是,通常被认作为附属结构的栏杆扶手在有限元模拟时采用了梁单元而非质量单元是因为该桥的栏杆扶手足够粗壮,其刚度贡献不应忽略。建立的有限元模型总共有3 035个节点和4 962个单元(4 832个梁单元,130个质量单元),如图3所示。
4.2 参数选择及采样方法比较
该桥实测的前五阶模态频率为4.132,5.096, 6.044, 6.409, 7.248 Hz;对应的初始有限元模型计算频率为4.352,5.369,6.365,6.721,7.634 Hz。假设桥梁模态频率的降低是由结构的刚度折减而引起。另外钢桥在实际服役过程中,钢材弹性模量易受工作环境影响(比如温度等)而发生改变。因此,本文选择弹性模量作为修正参数,根据构件所处的位置和作用划分为6个子块(如表 1所示)。
采用基于频率残差的无量纲目标函数Π=∑5k=1fiGP-fiTestfiTest
(23)式中 fiGP和fiTest分别表示高斯过程预测频率和实测频率。由文献[21]可知,即使实测频率和计算频率相差不大,修正参数的幅度也可能很大。文献[21]中弹性模量修正量最大为30%,所以参数先验范围设定为名义值210 GPa的±30%改变量。
对前面叙述的3种空间采样方法,均采用足够大样本数5×106计算各参数的一阶灵敏度指标Si和总灵敏度指标STi,结果如图4所示(图中数字仅给出了有限位精度)。结果表明:
参数E2,E3,E6与其他参数的相互作用明显,因为它们各自的总灵敏度指标明显大于一阶灵敏度指标;
参数E2对目标函数起着主导作用,对目标函数的总效应占82.3%,这是因为主桁构成了该桥的主骨架,起着重要作用,因此参数E2应该确定为修正参数;
参数E3,E6对目标函数影响也比较显著,所以它们均应该选择为修正参数;
参数E1,E4,E5应该从修正参数组移除,因为它们对目标函数的影响极其微小。
接下来可考察3种空间采样方法用于计算灵敏度指标的效率。采样次数依次为103,5×103,10×103,15×103,…,100×103,共21种采样。引入绝对误差(Absolute Error, AE)评价灵敏度指标计算的收敛效果如下
由图5可知,Sobol序列用于全局灵敏度分析计算效率最高,Halton序列次之,最后为拉丁超立方抽样。它们计算效率的高低可以从其均匀性优劣得到解释:拉丁超立方保证了一维的均匀性,但未考虑维度间的均匀性;Sobol序列和Halton序列为2种低差异性(Low Discrepancy)的拟蒙托卡罗采样(QuasiMonte Carlo)方法,它们在维度间呈现出良好的均匀性;Sobol序列避免了Halton序列高维抽样时的集聚效应,前者的均匀性优于后者[22]。
5 结 论
本文提出了基于全局灵敏度分析的有限元模型修正参数选择方法。相比传统的局部灵敏度分析方法,全局灵敏度分析方法具有量化参数整个变化范围作用,考虑了参数间的相互作用等优点。但是,全局灵敏度分析应用于复杂的土木结构计算花费高。为此,一方面,本文采用高斯过程模型用于降低全局灵敏度分析方法计算成本高;另一方,比较了拉丁超立方抽样、Halton序列、Sobol序列3种空间采样方法用于全局灵敏度分析的计算效率,对寻找一种高效的采样方法用于减少全局灵敏度分析计算花费具有指导意义。
参考文献:
[1] Ren W X, Chen H B. Finite element model updating in structural dynamics by using the response surface method[J]. Engineering Structures, 2010, 32(8):2 455—2 465.
[2] Brownjohn J M W, Xia P Q, Hao H, et al. Civil structure condition assessment by fe model updating: Methodology and case studies[J].Finite Elements in Analysis and Design, 2001, 37(10):761—775.
[3] 于德介, 李睿. Sobol’法在非线性隔振系统灵敏度分析中的应用研究[J]. 振动工程学报, 2004, 17(2):210—213.
Yu D J, Li R. Application of Sobol′ method to sensitivity analysis of a nonlinear passive vibration isolators[J]. Journal of Vibration Engineering, 2004, 17(2):210—213.
[4] 陈刚, 汪玉,毛为民,等. 冲击载荷作用下舰艇管路系统全局参数灵敏度分析[J]. 振动与冲击, 2007, 26(3):45—48.
Cheng G, Wang Y, Mao Y M, et al. Global parameter sensitivity analysis of shipboard piping systems under shock loads [J]. Journal of Vibration and Shock, 2006, 26(3):45—48.
[5] Wang P, Lu Z, Tang Z. An application of the Kriging method in global sensitivity analysis with parameter uncertainty[J]. Applied Mathematical Modelling, 2013,37(9):6 543—6 555.
[6] Simpson T W, Poplinski J D, Koch P N, et al. Metamodels for computerbased engineering design: Survey and recommendations[J]. Engineering with Computers, 2001,17(2):129—150.
[7] 刘开云, 刘保国, 徐冲. 基于遗传组合核函数高斯过程回归算法的边坡非线性变形时序分析智能模型[J]. 岩石力学与工程学报, 2009, 28(10):2 128—2 134.
Liu K Y, Liu B G, Xu C. Intelligent analysis model of slope nonlinear displacement time series based on geneticGaussian process regression algorithm of combined kernel function[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2009,28(10):2 128—2 134.
[8] 刘信恩, 肖世富, 莫军. 高斯过程响应面法研究[J]. 应用力学学报, 2010, 27(1):190—195.
Liu X E, Xiao S F, Mo J. A new response surface method based on Gaussian process [J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2010, 27(1):190—195.
[9] 万华平, 任伟新, 魏锦辉. 基于高斯过程响应面的结构有限元模型修正方法[J]. 振动与冲击, 2012, 31(24):82—87.
Wan H P, Ren W X, Wei J H. Strucutral finite element model updating based on Gaussian process response surface methodology[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(24):82—87.
[10] 张冬冬, 郭勤涛. Kriging 响应面代理模型在有限元模型确认中的应用[J]. 振动与冲击, 2013, 32(9):187—191.
Zhang D D, Guo Q T. Application of Kriging response surface in finite element model validation[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(9):187—191.
[11] Wan H P, Mao Z, Todd M D, et al. Analytical uncertainty quantification for modal frequencies with structural parameter uncertainty using a Gaussian process metamodel[J]. Engineering Structures, 2014, 75: 577—589.
[12] Neal R M. Regression and classification using Gaussian process priors. In: Bernardo J, Berger J, Dawid A, et al. Bayesian Statistics 6[M]. Oxford University Press, 1998,475—501.
[13] Rasmussen C E, Williams C K I. Gaussian Processes for machine learning[M]. MIT Press,2006.
[14] Efron B, Stein C. The jackknife estimate of variance[J]. The Annals of Statistics, 1981:586—596.
[15] Sobol I M. Sensitivity estimates for nonlinear mathematical models[J]. Mathematical Modeling and Computational Experiment, 1993, 1(4):407—414.
[16] McKay M D, Beckman R J, Conover W J. A comparison of three methods for selecting values of input variables in the analysis of output from a computer code[J]. Technometrics, 1979, 21:239—245.
[17] Halton J H. On the efficiency of certain quasirandom sequences of points in evaluating multidimensional integrals[J]. Numerische Mathematik, 1960, 2(1):84—90.
[18] Sobol I M. On the distribution of points in a cube and the approximate evaluation of integrals[J]. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1967, 7:86—112.
[19] Antonov I A, Saleev, V M. An economic method of computing LPτsequences[J]. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1979, 19(1), 252—256.
[20] Bratley P, Fox B L. Algorithm 659: Implementing Sobol"s quasirandom sequence generator[J]. ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS),1988, 14(1),88—100.
[21] Jaishi B, Ren W X. Structural finite element model updating using ambient vibration test results[J]. Journal of Structural Engineering, 2005, 131(4):617—628.
[22] Cheng J, Druzdzel M J. Computational investigation of lowdiscrepancy sequences in simulation algorithms for bayesian networks[A].Proceedings of the Sixteenth Conference on Uncertainty in Artificial Intelligence[C]. Morgan Kaufmann Publishers, Stanford, CA, 2000,72—81.
Abstract: This paper proposes a global sensitivity analysis (GSA) approach for parameter selection in finite element modal updating. The GSA has the capability to quantify the effects of individual parameters over their entire space and interaction effects among parameters. This approach has a couple of advantages, such as capability to high degree of parameter uncertainty and model independence. However, it is still computationally intensive because a large number of model evaluations for Monte Carlo simulation (MCS) are needed to obtain a confident estimate of the sensitivity indices (SIs). Therefore, the fastrunning Gaussian process model is adopted to replace the timeconsuming finite element model to alleviate the computational burden. In addition, this study explores the efficiency of three spacefilling sampling methods, i.e., Latin hypercube sampling, Halton sequence and Sobol sequence, in the SIs evaluation, which has great value for choosing an efficient sampling method. At last, a realworld truss pedestrian bridge is used to demonstrate the proposed framework.
Key words: parameter selection; finite element modal updating; global sensitivity analysis; Gaussian process model; Latin hypercube sampling
作者简介: 万华平(1986—),男,博士,讲师。 电话:15556928238;Email:huaping.wan@gmail.com
通讯作者: 任伟新(1960—),男,博士,教授。 电话:13856966457;Email:renwx@hfut.edu.cn 希希