一、古今数学的美
把内容和形式结合起来考查,数学美的特征主要有两个:一个是和谐性,一个是奇异性。数学中的美是千姿百态、丰富多彩的,如美的形式符号、美的公式、美的曲线、美的曲面、美的证明、美的方法、美的理论等。从内容来说,数学美可分为结构美、语言美与方法美;就形式而论,数学美可分为外在的形态美和内在的理性美。
二、数学的思想
1.函数与方程的思想
函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型,然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。
在解决问题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键,用函数思想解答非函数问题。
2.数形结合的思想
“数无形,少直观,形无数,难入微”,利用数形结合可使所要研究的问题化难为易,化繁为简。
3.分类讨论的思想
当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时,需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论。
4.整体的思想
从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面都有广泛的应用,整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
5.转化、化归的思想
在于将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题。化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A经过某种转化手段,转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B,通过解决问题B达到解决问题A的方法。化归的原则有化未知为已知、化繁为简、化难为易、降维降次、标准化等。
6.类比的思想
把两个(或两类)不同的数学对象进行比较,如果发现它们在某些方面有相同或类似之处,那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。
7.建模的思想
为了描述一个实际现象更具科学性、逻辑性、客观性和可重复性,人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象,这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验,但这些实验往往用抽象出来的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验,实验本身也是实际操作的一种理论替代。
8.归纳推理的思想
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳),简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。
9.隐含条件的思想
没有明文表述出来,但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件,或者是没有明文表述,但是该条件是一个常规或者真理。
10.极限的思想
极限思想是微积分的基本思想,数学分析中的一系列重要概念,如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问:“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说:“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
三、数学的地位
1.数学与科技
20世纪科学技术进步给人类生产和生活带来的巨大变化确实令人赞叹不已。从远古时代起一直是人们幻想的“顺风耳”“千里眼”“空中飞行”和“飞向太空”都在这一世纪成为现实。回顾20世纪的重大科学技术进步,以下几个项目无疑是影响最大的,而数学的预见和推动作用是非常关键的。
(1)先有了麦克斯韦方程人们从数学上论证了电磁波,其后赫兹才有可能做发射电磁波的实验,接着才会有电磁波声光信息传递技术的发展。
(2)爱因斯坦相对论的质能公式首先从数学上论证了原子反应将释放出的巨大能量,预示了原子能时代的来临。随后人们才在技术上实现了这一预见,到了今天,原子能已成为发达国家电力能源的主要组成部分。
(3)牛顿当年已经通过数学计算预见了发射人造天体的可能性,差不多过了将近3个世纪,人们才实现了这一预见。
(4)电子数字计算机的诞生和发展完全是在数学理论的指导下进行的。数学家图灵和冯诺依曼的研究对这一重大科学技术进步起了关键性的推动作用。
(5)遗传与变异现象虽然早就为人们所注意。生产和生活中也曾培养过动植物新品种。遗传的机制却很长时间得不到合理解释,19世纪60年代,孟德尔以组合数学模型来解释他通过长达8年的实验观察得到的遗传统计资料,从而预见了遗传基因的存在性。多年以后,人们才发现了遗传基因的实际承载体,到了上世纪50年代沃森和克里发现了DNA分子的双螺旋结构。这以后,数学更深刻地进入遗传密码的破译研究。
2.数学在时代大潮的潮头
我们面临一个科学技术迅猛发展的时代。信息的数字化和信息的数学处理已经成为几乎所有高科技项目共同的核心技术。从事先设计、制订方案,到试验探索、不断改进,到指挥控制、具体操作,处处倚重于数学技术。众多新闻报道反映出这一时代大潮汹涌澎湃的势头。下面列举的仅仅是其中的一小部分。
(1)数学技术已经成为工业新产品研制设计的重要关键技术。1994年4月9日,被称为“百分之百数字化确定”的波音777型飞机举行盛大隆重的出厂典礼。可以通过精确设定的数学模型在计算机中进行,探索和修改都可以通过数学指令去实现。新机种的研制周期从十多年缩短到三年半,大幅度节约了原材料和能源。
(2)许多国家认识到,发展高清晰度电视是未来经济技术竞争的主战场之一。日本和美国都投入大量资金和人力进行有关研究,1994年2月24日《人民日报》报道:日本政府正式宣布,转向研究数字式高清晰度电视,承认数字式因其优越性而得到世界多数国家赞同,很可能成为未来的国际标准。
(3)海湾战争是一场现代高科技战争,其核心技术竟然也是数学技术。美国总结海湾战争经验得出的结论是:“未来的战场是数字化的战争”。
(4)1995年1月,在阪神大地震之后,美国利用数学模型进行地震预测,预告本世纪末加州南部可能发生大地震。
(5)1995年3月,我国中央人民广播电台宣布启用数字式转播方式,指出以前的模拟式转播方式效果差,所以改用新的转播方式。
(6)1995年6月,欧洲联盟开会研讨未来数字化通信的统一制式。
(7)1996年2月,我国电子工业部宣布“九五计划”开发重点:数字化信息技术。所订的两个重点研制项目是:数字式高清晰度电视接受机样机和数字式激光盘。
(8)1996年4月,我国国家科委发布招标公告,正式宣布数字式高清晰度电视开发项目。
3.当代与未来的发展倚重数学
仅以几件事为例就能清楚地看到数学对当代人们的生产和生活所起的重要作用。当代的生产和生活离不开石油,石油勘探和生产需要了解地层结构。多年以来已经发展了一整套数学模型和数学程序。人们发射地震波,然后将各个层面反射回来的信息收集起来。利用数学处理,就能将地层各个剖面的图像和地层结构的全貌展现出来。无独有偶,涉及人的生命也有类似的情况,医生需要了解病人躯体内部和器官内部的状况与变异,以前的调光片将骨骼和各种器官全都重叠在一起,往往难以辨认,然而现在也有了一整套数学方案。借助了精密设备收集射线穿透人体或核磁共振带出的信息,以数学处理就能将人体各个面的状况清晰地呈现出来,需要了解哪个层面就可以调出哪个层面的图片来,关系到人们的生产与生活,这样的例证很多很多。
在涉及生存与发展的关键时刻,特别是在涉及人类命运的紧要关头,数学也起着非常重要的作用。在上世纪最后十年的时候,美国国家研究委员会公布了两份重要报告《人人关心数学教育的未来》和《振兴美国数学——90年代的计划》。两份报告都提到:近半个世纪以来,有三个时期数学的应用受到特别重视,促进了数学的爆炸性发展,“第二次世界大战促成了许多新的强有力数学方法的发展……”“由于受前苏联人造卫星发射的刺激,美国政府增加投入促进了数学研究与数学教育的发展”“计算机的使用扩大了对数学的需求”。随着计算机的发展,对数学有了空前的需求,使数学进入了第三个大发展的时期。
数学无论在日常的生产和生活中,还是在涉及生存和发展的关键时刻,都起着非常重要的作用,科学技术和生产的发展对数学提出了空前的需求,我们必须把握时机增大投入,加强数学研究与数学教育,提高全民族的数学素质,只有这样,才能更好地迎接未来的挑战。
(作者单位 常州刘国钧高等职业学校)